Sistemas Lineares

Bem pessoal, geralmente vemos esse assunto na 8ª série que agora se chama 9° ano, né? (Geralmente chamam de Sistema de equações)

mas revemos ele no 2° ano com o nome mais complicado de Sistemas Lineares.

I – Introdução
Vamos usar o exemplo de uma metalúrgica que fabrica lingotes de bronze, que é uma liga de cobre e estanho, ao custo de R$ 13,00 o quilograma. Sabendo que 1kg de cobre custa R$ 12,00 e que 1 kg de estanho custa R$ 16,00 queremos calcular a quantidade de cobre contida em cada quilograma do bronze produzido nessa indústria.
Para resolver esse problema, vamos supor que x e y sejam, respectivamente, as frações de cobre e estanho que compõem 1 kg de bronze. Assim, devemos ter:

{ x + y = 1 => { y = 1 – x (I)
{ 12x + 16y = 13 => { 12x + 16y = 13 (II)

Substituindo a equação I na equação II, obtemos:
12x + 16(1 – x) = 13
ou seja: 12x + 16 – 16x = 13
chegando a uma quase conclusão: -4x = -3
e concluindo: x = 3/4*

3/4 = 3 sobre 4, fração. Mas não dá para representa-la aqui.

Logo, cada quilograma de bronze contém 0,75 kg de cobre.
Viu como é frequente o uso desse assunto?
Então não se perguntem onde irão usar matemática no dia a dia.

II – Equação Linear
Essa é fácil, toda equação do 1° grau com uma ou mais incógnitas, é chamada de Equação Linear.

Ex:
ax + by = 11, temos:

• incógnitas: x e y
• coeficientes a e b
• termo independente: 11

Solução da equação linear.
Simples, muito simples.

Ex:
3x + 2y = 11
a solução dessa equação é o par ordenado (1, 4), pois a equação:
3 x 1 + 2 x 4 = 11 é verdadeira.
3 + 8 = 11
11 = 11.

Entenderam?
Agora perai…

1 – Quantas soluções admitem a equação 2x + y = 5?
a resposta é:
Infinitas.

Porque?
para x = 1, temos 2 x 1 + y = 5; portanto y = 3. Logo (1, 3) é verdadeiro.
Para x = -2, temos 2 x (-2) + y = 5; portanto y = 9. Logo (-2, 9) é a solução.

LEMBRARAM DO QUE O PROFESSOR DE VOCÊS FALOU? (Se é que falou)

Escolhe-se um valor para x, adiciona na equação e acha y, assim achando os pares ordenados (solução).

Dentro dessas equações temos os tipos;

Equação linear homogênea
É toda equação linear cujo termo independente é igual a zero.

Ex.:
3x + 2y = 0 <- viram?

E toda equação linear homogênea tem a solução trivial que é (0, 0, 0, 0…). Quantos zeros tiverem de incógnitas (x, y, z).

III – Classificação dos Sistema Linear
Bem, depois de entender como funciona os sistemas lineares e suas equações mais que fáceis… vamos aprender como classifica-los, afinal nem sempre dá certo.

Sistema possível e determinado ( SPD )
É todo sistema linear que adminte uma única solução.

Ex.:
{ x + y = 5
{ y = 2

Ele já diz que y = 2, basta substituir o mesmo na equação de cima. ficando:
x + 2 = 5
x = 5 – 2
x = 3

E achamos o par ordenado
(3, 2)
x y

Sistema possível e indeterminado ( SPI )
É todo sistema linear que admite mais de uma solução.
Ex.:
{ 2x + y = 5
{ 4x + 2y = 10

É um sistema linear que admite várias soluções por que quando x for 2, y será 1. Quando x for 0, y será 5 e por aí em diante… ( Ah, lembrem-se que os valores de x e y tem de resolver as duas equações )
Então classificamos ele como SPI (sistema possível e indeterminado)
porque sabemos que ele tem resultado, mas não podemos dizer qual, pois existem vários.

Dica: Provando que um sistema linear admite mais de uma solução, prova-se que ele admitirá infinitas soluções.

Sistema Impossível
É todo sistema linear que admite solução alguma.