Noções de Lógica Matemática

Olá pessoas, desculpem o meu chá de sumiço mas o curso me tirou todo tempo restante para dedicar a vocês. Felizmente, a dedicada redatora, Anne Carolina, não parou e não deixou isso aqui morrer, só tenho a agradecer (ela e aos leitores).

Entraremos com uma noção que nem sempre é bem dominada no ensino médio e que dificulta a vida de muita gente em concursos e até nos decorrer da carruagem na faculdade em cursos de exatas e nas áreas correlatas (tecnológicas).

Então temos que ter cuidado ao falar de “lógica” e de “lógica matemática”, são coisas parecidas mas a lógica em si é um conceito filosófico/meta-físico muito mais amplo que a lógica aristotélica pode conter.

Eu espero que todos aqui conheçam a definição de conjunto e suas relações e operações (reunião ou união, intersecção ou interseção). Então, caso não conheça procure nosso post sobre conjuntos e se atualize, só aí volte, caso seja pró, continue.

Linguagem básica

Por ser uma ciência “exata”, a matemática, requer uma linguagem que não apresente ambiguidade ou imprecisões. Para tanto, faz-se uso da linguagem proposicional, que é fundamentada numa teoria chamada Lógica. Essa linguagem será utilizada daqui para frente e muitas vezes (quase sempre) para pessoas que pretendem seguir a área.

Implicações e Recíprocas

As proposições nessa linguagem são do tipo “Se P, então, Q”, em que P e Q são sentenças. Nesse caso, a sentença P é a hipótese e Q é a tese. Substituindo P e Q por “valores” teríamos um exemplo:

Se um triângulo é isósceles, então dois dos seus ângulos são congruentes.

Assim, feita a hipótese de um triângulo ser isósceles, conclui-se a tese, isto é, que dois de seus ângulos são congruentes.
Proposições desse tipo podem ser enunciadas simbolicamente por

P ⇒ Q.

O símbolo (⇒) significa implica, isto é, P ⇒ Q significa que Q é uma consequência de P e, portanto, tem o mesmo significado de “se P, então, Q”.

Essa proposição nos permite ser escrita de outro modo, este seria:

Um triângulo é isósceles, se, somente se, dois de seus ângulos são congruentes.

Essa expressão nos diz que se um triângulo não possui dois ângulos congruentes, então ele não pode ser isósceles, isto é, ter (pelo menos) dois ângulos congruentes é uma condição necessária para que ele seja isósceles. Assim concluímos que para que ele tenha dois lados congruentes, basta ele ser isósceles. isto é, ser isósceles é uma condição suficiente para que dois ângulos de um triângulo sejam congruentes.

Em suma, as proposições
a) se P , então, Q;
b) P ⇒ Q;
c) Q ⇐ P ;
d) Q, se P ;
e) P , somente se Q;
f) Q é condição necessária para P ;
g) P é condição suficiente para Q
têm o mesmo significado.

Vejamos um outro exemplo. A proposição “todo ser humano é mortal”, pode ser enunciada em linguagem matemática das seguintes formas:

a) se x é ser humano, então, x é mortal;
b) x é ser humano ⇒ x é mortal;
c) x é mortal ⇐ x é ser humano;
d) x é mortal, se x é ser humano;
e) uma condição necessária para que x seja humano é a de que x seja mortal;
f) uma condição suficiente para que x seja mortal é a de que x seja humano.

A recíproca de uma proposição P ⇒ Q é, por definição, a proposição dada por Q⇒P. Observemos que, independentemente do fato de P ⇒ Q ser verdadeira ou falsa, sua recíproca, Q ⇒ P, pode ser ou não uma proposição verdadeira.

Quando temos que a proposição e sua recíproca são verdadeiras, podemos representar pelo símbolo ⇔ (se, somente se,). Um exemplo, seria:

x é triângulo isósceles ⇔ dois dos ângulos de x são congruentes.

Quantificadores – negações

As sentenças matemáticas, em geral, envolvem variáveis que são quantificadas. Por exemplo, na proposição “dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém”, a variável foi quantificada pela expressão existe uma única.

Expressões desse tipo são chamadas de quantificadores. Estes são

1. existe x;
2. existe um x;
3. existe um único x;
4. para todo x;
5. qualquer que seja x.

Convém observar que as sentenças (1) e (2) anteriores têm o mesmo significado, pois o artigo “um” em (2) tem o sentido de “algum”. Quando se deseja enunciar a unicidade de x com respeito a uma propriedade qualquer, deve-se fazê-lo explicitamente, como no caso de (3). As sentenças (4) e (5), claramente, têm o mesmo significado.

Em sentenças desse tipo, podem-se usar os símbolos:

1. ∃ – existe, existe um;
2. ∃! – existe um único;
3. ∀ – para todo, qualquer que seja.

Vejamos um exemplo:

Dado um segmento de reta AB , obtêm-se facilmente, triângulos isósceles cuja base é AB. Usando-se quantificadores, podemos dizer isso das seguintes maneiras:

1. para todo segmento de reta AB existe um triângulo isósceles cuja base é AB ;
2. para todo segmento de reta AB existe um ponto C , tal que ABC é um triângulo isósceles de base AB ;
3. ∀AB , ∃C , tal que ABC é um triângulo isósceles de base AB .

Note que, em (1) e (2), pode-se ainda substituir a expressão “para todo” por “qualquer
que seja”.
Uma proposição clássica da geometria euclidiana estabelece que três pontos não colineares determinam uma circunferência. Esse fato pode ser enunciado também como:

1. quaisquer que sejam os pontos não colineares A, B, C , existe uma única circunferência γ que contém A , B e C ;
2. ∀ A, B, C não colineares, ∃! γ , tal que γ é uma circunferência e A, B, C ∈ γ .

Mas nem só de proposições verdadeiras vivem os matemáticos, ao longo de certas argumentações é preciso negar certas afirmações. Nesse contexto, a negação de “todo triângulo é isósceles”, é “existe um triângulo que não é isósceles”, e não “nenhum triângulo é isósceles”, isto é, para negarmos o fato de que todos os triângulos são isósceles, basta exibirmos um que não o seja.

Dessa forma, a negação de uma sentença do tipo “para todo x ∈ A , x tem a propriedade P” é “existe um x ∈ A , tal que x não tem a propriedade P ”, e vice-versa. A negação de uma sentença S é denotada por ∼ S [lê-se não S].

Exemplo:

Vamos negar a proposição (um famoso axioma da geometria euclidiana):

Dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta l que os contém.

observemos que há duas formas de contrariá-la. Uma seria obter um par de pontos A, B , tais que nenhuma reta os contenha; outra seria obter A, B, tais que mais de uma reta os contenha, isto é, a negação da sentença “existe um único x com a propriedade P” é “não existe x com a propriedade P” ou “existe mais de um x com a propriedade P”. Assim, a negação ficaria

~P = Existem pontos distintos A, B , tais que reta alguma os contém ou existem pontos distintos A, B , tais que mais de uma reta os contém.

Bem, finalizamos a introdução por aqui.

Depois trarei mais material sobre esse assunto tão complexo e utilizado hoje em dia.

Bibliografia

Disciplina: Pré-Cálculo

Introdução à linguagem matemática

Autores: Rubens Leão de Andrade, Ronaldo Freire de Lima