Posts com Tag ‘Matemática’

Olá pessoas, desculpem o meu chá de sumiço mas o curso me tirou todo tempo restante para dedicar a vocês. Felizmente, a dedicada redatora, Anne Carolina, não parou e não deixou isso aqui morrer, só tenho a agradecer (ela e aos leitores).

Entraremos com uma noção que nem sempre é bem dominada no ensino médio e que dificulta a vida de muita gente em concursos e até nos decorrer da carruagem na faculdade em cursos de exatas e nas áreas correlatas (tecnológicas).

Então temos que ter cuidado ao falar de “lógica” e de “lógica matemática”, são coisas parecidas mas a lógica em si é um conceito filosófico/meta-físico muito mais amplo que a lógica aristotélica pode conter.

Eu espero que todos aqui conheçam a definição de conjunto e suas relações e operações (reunião ou união, intersecção ou interseção). Então, caso não conheça procure nosso post sobre conjuntos e se atualize, só aí volte, caso seja pró, continue.

Linguagem básica

Por ser uma ciência “exata”, a matemática, requer uma linguagem que não apresente ambiguidade ou imprecisões. Para tanto, faz-se uso da linguagem proposicional, que é fundamentada numa teoria chamada Lógica. Essa linguagem será utilizada daqui para frente e muitas vezes (quase sempre) para pessoas que pretendem seguir a área.

Implicações e Recíprocas

As proposições nessa linguagem são do tipo “Se P, então, Q”, em que P e Q são sentenças. Nesse caso, a sentença P é a hipótese e Q é a tese. Substituindo P e Q por “valores” teríamos um exemplo:

Se um triângulo é isósceles, então dois dos seus ângulos são congruentes.

Assim, feita a hipótese de um triângulo ser isósceles, conclui-se a tese, isto é, que dois de seus ângulos são congruentes.
Proposições desse tipo podem ser enunciadas simbolicamente por

P ⇒ Q.

O símbolo (⇒) significa implica, isto é, P ⇒ Q significa que Q é uma consequência de P e, portanto, tem o mesmo significado de “se P, então, Q”.

Essa proposição nos permite ser escrita de outro modo, este seria:

Um triângulo é isósceles, se, somente se, dois de seus ângulos são congruentes.

Essa expressão nos diz que se um triângulo não possui dois ângulos congruentes, então ele não pode ser isósceles, isto é, ter (pelo menos) dois ângulos congruentes é uma condição necessária para que ele seja isósceles. Assim concluímos que para que ele tenha dois lados congruentes, basta ele ser isósceles. isto é, ser isósceles é uma condição suficiente para que dois ângulos de um triângulo sejam congruentes.

Em suma, as proposições
a) se P , então, Q;
b) P ⇒ Q;
c) Q ⇐ P ;
d) Q, se P ;
e) P , somente se Q;
f) Q é condição necessária para P ;
g) P é condição suficiente para Q
têm o mesmo significado.

Vejamos um outro exemplo. A proposição “todo ser humano é mortal”, pode ser enunciada em linguagem matemática das seguintes formas:

a) se x é ser humano, então, x é mortal;
b) x é ser humano ⇒ x é mortal;
c) x é mortal ⇐ x é ser humano;
d) x é mortal, se x é ser humano;
e) uma condição necessária para que x seja humano é a de que x seja mortal;
f) uma condição suficiente para que x seja mortal é a de que x seja humano.

A recíproca de uma proposição P ⇒ Q é, por definição, a proposição dada por Q⇒P. Observemos que, independentemente do fato de P ⇒ Q ser verdadeira ou falsa, sua recíproca, Q ⇒ P, pode ser ou não uma proposição verdadeira.

Quando temos que a proposição e sua recíproca são verdadeiras, podemos representar pelo símbolo ⇔ (se, somente se,). Um exemplo, seria:

x é triângulo isósceles ⇔ dois dos ângulos de x são congruentes.

Quantificadores – negações

As sentenças matemáticas, em geral, envolvem variáveis que são quantificadas. Por exemplo, na proposição “dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém”, a variável foi quantificada pela expressão existe uma única.

Expressões desse tipo são chamadas de quantificadores. Estes são

  1. existe x;
  2. existe um x;
  3. existe um único x;
  4. para todo x;
  5. qualquer que seja x.

Convém observar que as sentenças (1) e (2) anteriores têm o mesmo significado, pois o artigo “um” em (2) tem o sentido de “algum”. Quando se deseja enunciar a unicidade de x com respeito a uma propriedade qualquer, deve-se fazê-lo explicitamente, como no caso de (3). As sentenças (4) e (5), claramente, têm o mesmo significado.

Em sentenças desse tipo, podem-se usar os símbolos:

  1. ∃ – existe, existe um;
  2. ∃! – existe um único;
  3. ∀ – para todo, qualquer que seja.

Vejamos um exemplo:

Dado um segmento de reta AB , obtêm-se facilmente, triângulos isósceles cuja base é AB. Usando-se quantificadores, podemos dizer isso das seguintes maneiras:

  1. para todo segmento de reta AB existe um triângulo isósceles cuja base é AB ;
  2. para todo segmento de reta AB existe um ponto C , tal que ABC é um triângulo isósceles de base AB ;
  3. ∀AB , ∃C , tal que ABC é um triângulo isósceles de base AB .

Note que, em (1) e (2), pode-se ainda substituir a expressão “para todo” por “qualquer
que seja”.
Uma proposição clássica da geometria euclidiana estabelece que três pontos não colineares determinam uma circunferência. Esse fato pode ser enunciado também como:

  1. quaisquer que sejam os pontos não colineares A, B, C , existe uma única circunferência γ que contém A , B e C ;
  2. ∀ A, B, C não colineares, ∃! γ , tal que γ é uma circunferência e A, B, C ∈ γ .

Mas nem só de proposições verdadeiras vivem os matemáticos, ao longo de certas argumentações é preciso negar certas afirmações. Nesse contexto, a negação de “todo triângulo é isósceles”, é “existe um triângulo que não é isósceles”, e não “nenhum triângulo é isósceles”, isto é, para negarmos o fato de que todos os triângulos são isósceles, basta exibirmos um que não o seja.

Dessa forma, a negação de uma sentença do tipo “para todo x ∈ A , x tem a propriedade P” é “existe um x ∈ A , tal que x não tem a propriedade P ”, e vice-versa. A negação de uma sentença S é denotada por ∼ S [lê-se não S].

Exemplo:

Vamos negar a proposição (um famoso axioma da geometria euclidiana):

Dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta l que os contém.

observemos que há duas formas de contrariá-la. Uma seria obter um par de pontos A, B , tais que nenhuma reta os contenha; outra seria obter A, B, tais que mais de uma reta os contenha, isto é, a negação da sentença “existe um único x com a propriedade P” é “não existe x com a propriedade P” ou “existe mais de um x com a propriedade P”. Assim, a negação ficaria

~P = Existem pontos distintos A, B , tais que reta alguma os contém ou existem pontos distintos A, B , tais que mais de uma reta os contém.

Bem, finalizamos a introdução por aqui.

Depois trarei mais material sobre esse assunto tão complexo e utilizado hoje em dia.

Bibliografia

Disciplina: Pré-Cálculo

Introdução à linguagem matemática

Autores: Rubens Leão de Andrade, Ronaldo Freire de Lima

Bem pessoal, geralmente vemos esse assunto na 8ª série que agora se chama 9° ano, né? (Geralmente chamam de Sistema de equações)

mas revemos ele no 2° ano com o nome mais complicado de Sistemas Lineares.

I – Introdução
Vamos usar o exemplo de uma metalúrgica que fabrica lingotes de bronze, que é uma liga de cobre e estanho, ao custo de R$ 13,00 o quilograma. Sabendo que 1kg de cobre custa R$ 12,00 e que 1 kg de estanho custa R$ 16,00 queremos calcular a quantidade de cobre contida em cada quilograma do bronze produzido nessa indústria.
Para resolver esse problema, vamos supor que x e y sejam, respectivamente, as frações de cobre e estanho que compõem 1 kg de bronze. Assim, devemos ter:

{ x + y = 1 => { y = 1 – x (I)
{ 12x + 16y = 13 => { 12x + 16y = 13 (II)

Substituindo a equação I na equação II, obtemos:
12x + 16(1 – x) = 13
ou seja: 12x + 16 – 16x = 13
chegando a uma quase conclusão: -4x = -3
e concluindo: x = 3/4*

3/4 = 3 sobre 4, fração. Mas não dá para representa-la aqui.

Logo, cada quilograma de bronze contém 0,75 kg de cobre.
Viu como é frequente o uso desse assunto?
Então não se perguntem onde irão usar matemática no dia a dia.

II – Equação Linear
Essa é fácil, toda equação do 1° grau com uma ou mais incógnitas, é chamada de Equação Linear.

Ex:
ax + by = 11, temos:

  • incógnitas: x e y
  • coeficientes a e b
  • termo independente: 11

Solução da equação linear.
Simples, muito simples.

Ex:
3x + 2y = 11
a solução dessa equação é o par ordenado (1, 4), pois a equação:
3 x 1 + 2 x 4 = 11 é verdadeira.
3 + 8 = 11
11 = 11.

Entenderam?
Agora perai…

1 – Quantas soluções admitem a equação 2x + y = 5?
a resposta é:
Infinitas.

Porque?
para x = 1, temos 2 x 1 + y = 5; portanto y = 3. Logo (1, 3) é verdadeiro.
Para x = -2, temos 2 x (-2) + y = 5; portanto y = 9. Logo (-2, 9) é a solução.

LEMBRARAM DO QUE O PROFESSOR DE VOCÊS FALOU? (Se é que falou)

Escolhe-se um valor para x, adiciona na equação e acha y, assim achando os pares ordenados (solução).

Dentro dessas equações temos os tipos;

Equação linear homogênea
É toda equação linear cujo termo independente é igual a zero.

Ex.:
3x + 2y = 0 <- viram?

E toda equação linear homogênea tem a solução trivial que é (0, 0, 0, 0…). Quantos zeros tiverem de incógnitas (x, y, z).

III – Classificação dos Sistema Linear
Bem, depois de entender como funciona os sistemas lineares e suas equações mais que fáceis… vamos aprender como classifica-los, afinal nem sempre dá certo.

Sistema possível e determinado ( SPD )
É todo sistema linear que adminte uma única solução.

Ex.:
{ x + y = 5
{ y = 2

Ele já diz que y = 2, basta substituir o mesmo na equação de cima. ficando:
x + 2 = 5
x = 5 – 2
x = 3

E achamos o par ordenado
(3, 2)
x y

Sistema possível e indeterminado ( SPI )
É todo sistema linear que admite mais de uma solução.
Ex.:
{ 2x + y = 5
{ 4x + 2y = 10

É um sistema linear que admite várias soluções por que quando x for 2, y será 1. Quando x for 0, y será 5 e por aí em diante… ( Ah, lembrem-se que os valores de x e y tem de resolver as duas equações )
Então classificamos ele como SPI (sistema possível e indeterminado)
porque sabemos que ele tem resultado, mas não podemos dizer qual, pois existem vários.

Dica: Provando que um sistema linear admite mais de uma solução, prova-se que ele admitirá infinitas soluções.

Sistema Impossível
É todo sistema linear que admite solução alguma.

Concerteza você lembra daquele assunto do seu 1º ~ 2º ano do ensino médio. Matemática básica. O estudo das Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes. Chato não?

Vamos aprender de uma forma legalzinha como estudar sobre isso… e o melhor, apartir de hoje… todo assunto de matemática ou outra materia da área tecnológica que eu der aqui eu vou na área de programação montar um código que mecha com esse tal assunto. Para vocês perdidos no entendimento do algoritmo não desentusiasmem se procuram ajuda não é por que estão no curso errado. ( Afinal estão lá para aprender, né? E só com erros e duvidas que se aprende. ) É apenas por que não entenderam, embora ache que essa ajuda deveria ser pedida ao professor. Enfim, vamos começar.

Matrizes.

Chama-se matriz do tipo m por n (escreve-se m x n) toda tablea de números organizada em m linhas e n colunas.
Ex.:
Matriz do tipo 2×2
|| 5     -5 ||
|| 3     -6 ||

Matriz do tipo 3×2
|| 9     4 ||
|| 5     6 ||
|| 1    -3 ||

Na matriz 3×2 do exemplo, o número “9” está posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11 = 9;
o 4 está posicionado na linha 1 e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4;

Ps.: Ah, essas tabelas são representadas por ||, ( ) ou [ ]

Pronto, só isso? É… em suma sim…
Mas ainda temos mais tipos de matrizes e acredito que seus problemas não iram se resolver com isso… Ah, lembrando que um dos meus brinquedos favoritos tem seu segredo revelado através do estudo das matrizes. É o chamado Cubo de Rubik (cubo mágico), tá não iremos colocar o carro na frente dos bois.

Matrizes Especiais
– Matriz Quadrada
Matriz Quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas ( é né? ).
Ex.:
A 3 x 3
|| 1    2    3 ||
|| 0   -1    4 ||
|| 6    8   -3 ||
Esta matriz é uma matriz quadrada de ordem 3.

B 2 x 2
|| 3    6 ||
|| 4    0 ||
Esta é uma matriz quadrada de ordem 2.

Diagonais da Matriz Quadrada

Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.

Homi, traduza o que porra tu disse aí !

Diagonal principal

|| a11 a12 a13 ||
|| a21 a22 a23 ||
|| a31 a32 a33 ||

Ainda preciso dizer que essa é uma matriz de 3 x 3 ? Não né?
Então… o primeiro numero lá… é quem? a11 né? Por que? Por que ta ocupando o 1º lugar na linha 1 e coluna 1; logo a11
a22, por que está na 2º posição da linha 2 e coluna 2; logo a22
a33, por que está na 3º posição da linha 3 e coluna 3;

Perceberam que i = j… e que forma uma diagonal na matriz?
Pois é…

A diagonal secundária eu irei explicar mais a frente, quando continuar o post… estou morrendo de sono pessoal. Me desculpem, oky? Mas estou em periodos de estudos para provas.
Logo mais venho ajudar vocês, que devem estar de férias ou de recuperação.

Quem nunca se perguntou…
– Por que diabos existe essa tal de potenciação?
E quem nunca se perguntou:
– Por que todo número elevado a 0 é igual a 1?
Se você nunca se perguntou, não se preoculpe… talvez seja eu que seja anormal;
Mas enfim, vamos lá.

Entre os matematicos existe uma filosofia de que a exponenciação é como a divisão entre dois números. Veja como:
2² = 8/2 = 2³/2¹ = 2^(3-1)

Logo, podemos tratar o expoente 0 como a subtração de dois expoentes iguais.
Fazendo o caminho inverso podemos perceber:
2^0 = 2^(3-3) = 2^3 / 2^3 = 8/8 = 1

Lógico que o mais correto ao se fazer essa pergunta não é:
– Por que todo número elevado a 0 é igual a 1?
Por que 0^0 é um número indefinido, logo a pergunta correta é:
– Porque todo número diferente de 0 elevado a expoente 0 é igual a 1? ou
R* = {x ^ 0 = 1} ?
Um número (x) que pertença aos Reais (R) diferente de zero (*) que esteja elevado a 0 (^ 0) e seja = 1 (=1) por que isso? (?)
:] ~

Apenas algumas curiosidades, mas espero ter esclarecido.