Potenciação e Radiciação

Publicado: abril 26, 2009 por Stefan Yohansson em ' Matemática E Suas Tecnologias, Matemática

Potenciação e Radiciação

Como eu creio que não precisa-se explicar o principio básico da adição, subtração, multiplicação e divisão (pois seria voltar ao fundamental I) decidi pular logo para o complexo dessas partes, visto no inicio do 1º ano, é uma das matérias que mais enrola na cabeça das pessoas, apesar das mesmas não admitirem seus erros.

I-                    Potenciação

Ao estudarmos matemática aprendemos as operações básicas, assim chamadas, a adição, subtração, multiplicação e divisão e quando chega um certo tempo da nossa vida, aprendemos a usa-las de modo que seja mais fácil seu manuseio.

Temos como exemplo a potenciação, que nada mais é que a multiplicação de um número por ele mesmo “n” vezes.

Definição:

Sendo a  um número real e n um número inteiro, tem-se que:

an=a*a*a*…*a, se n > 1

a1 = a

a0 = 1

a-n = 1/an, se a ≠ 0

Exemplos:

a)      (-2)³ = (-2) * (-2) * (-2) = -8

b)      (-2)4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = 16

c)       (2/5)³ = (2/5) * (2/5) * (2/5) = 8/125

d)      50 = 1

e)      (-10)¹ = -10

f)       (3/4)-21/(¾)² = 1/(9/16) = 16/9 <- continuou-se a conta normal (parte em negrito) e no final, inverteu-se. Pode ser feito assim, como pode ser invertido assim que troca-se o sinal da potencia de negativo para positivo. [no caso ficaria 1/(4/3)²]

3*3 = 9

4*4 = 16

Regra prática: Inverte-se a base da potência e troca-se o sinal do expoente. Veja:

(¾)-2 = (4/3)²

Bem basicamente, é isso. Essa é a potenciação com fração que as pessoas tanto se enrolam. Está claro agora?

II-                  Radiciação

Assim como a divisão é o inverso da multiplicação, a radiciação é o inverso da potenciação. Para resolver essa conta que todos temem basta saber que:

3√8 = 2, pois 2³ = 8 e 2 ≥ 0

Observando essa conta, podemos tirar a conclusão de que:

O índice (que é o 3, que quando não se tem nada ali suponha-se que tem um 2, por isso o nome raiz quadrada que para quem não sabe é a nomenclatura do 2 e 3, cúbica) é justamente o número de vezes que tal número (no caso, usaremos x) será multiplicado para chegar-se em 8.

Dá para perceber alguma coisa? Será que não dá? Releia essa parte.

é justamente o número de vezes que tal número (no caso, usaremos x) será multiplicado para chegar-se em 8.

Agora imagine dessa forma:

X3 = 3√8, onde ele x = número que multiplicado tantas vezes chega-se no resultado 8.

Pare para pensar um pouco, e veja;

A potenciação é um número (base) que multiplicado varias vezes (por um expoente) se acha um resultado, e a radiciação é quando se tem o resultado dessa potenciação e quer saber a conta dela. Ou no caso, quer saber a base, a partir do expoente e do seu resultado.

Nota: A radiciação no conjunto dos reais é uma operação e, portanto, o resultado deve ser único. É por isso que a definição exige b ≥ 0, para se evitarem erros do tipo √9 = ±3.

Propriedades da Potenciação e Radiciação

Dentro de cada uma dessas regras, temos algumas propriedades que serão citadas a seguir:

Potenciação

I. am * an = am + n (conserva-se a base e adicionam-se os expoentes)

II. am : an = am – n (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes)

III. (am)n = am*n (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes)

IV. (ab)m = am * bm (distributiva da potenciação em relação à multiplicação) ou em outras palavras (multiplica pelo expoente as duas bases, quando os dois estiverem entre aspas e elevados ao mesmo expoente)

V. (a/b)m = am/bm (distributiva da potenciação em relação à divisão)

Radiciação

I. n√a * n√b = n√ab

II. n√a/n√b = n√a/b

III. np√akp = n√ak (cancela-se o p, e sobra o índice [n] e o expoente da base a [k])

IV. (n√a)k = n√ak

V. nk√a = nk√a (multiplica-se os índices)

Tá, eu já aprendi tudo isso. Mas e agora, para mim fazer uma conta dessas grande para cacete.

Tem forma mais fácil, não?

Há sim, simplificando os radicais você encontra o resultado mais rapido, ou pelo menos, o resultado que a questão do vestibular quer.

Vejamos isso no próximo passo.

 

 

– Simplificação de radicais

Para agilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, colocando-os na forma mais simples possível. Essa forma simplificada é obtida através das propriedades dos radicais. Vejamos, por exemplo, como simplificar os radicais 3√16 e √160.

16|2                                                                     160|2

8|2                                                                          80|2

4|2                                                                          40|2

2|2                                                                          20|2

1                                                                                10|2

16 = 24                                                                       5|5

1

160 = 25*5

Assim:

3√16 = 3√24 = 3√23*2 = 3√23 * 3√2 = 2*3√2 (agrupamento de 3[por causa do índice que é 3] números primos iguais e a exclusão do outro [parte em negrito])

√160 = √25*5 = √24*2*5 = √24  * √2*5 = 22*√10 = 4√10 (agrupamento de 2 ou múltiplos de 2[por causa do índice que é 2] números primos iguais e a exclusão do outro [parte em negrito])

Opa! Mas o que são números primos, hein!?

São todos aqueles números que só podem ser divisíveis por 1 e por eles mesmos.

Exemplos:

2, só pode ser dividido por 1 e por 2

3, só pode ser dividido por 1 e por 3

5, só pode ser dividido por 1 e por 5

Dica: todo número terminado em 0 ou 5 como “10, 20, 30, 35, 45” pode ser simplificado por 5.

E quando a casa decimal do número for par, ele é divisível por um número primo par, como genérico usa-se o 2, quando for impar usa-se um impar, como genérico usa-se o 3.

– Potência de expoente racional

 

Basicamente quando temos uma expressão assim: 73/4, olhamos e dizemos “FUDEU!”

Basicamente, o que temos de fazer é transformar isso numa radiciação, ou em linguagem mais fácil: em uma raiz.

– Como?

Simples.

73/4 =  473, ou seja

xn/k = k xn

Feito a fração, é só resolver, com os assuntos acima, simplificando ou resolvendo.

 

Gostaria de agradecer a Alexandra (cacau) e Luiz Costa pela enorme ajuda que vem me dando com o blog. :] e agradecer a todos os meus leitores.

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